15. Дано: Угол C = 70 градусов. Угол BAC (он же угол BAM) = 40 градусов. Угол ABC = 40 градусов. BM = MA. BD = AD. Найти: CD.

Решение:

1. Анализ условия: У нас есть треугольник ABC. Указано, что углы при основании AB равны (40 градусов). Это означает, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.
2. Равенство сторон: Следовательно, AC = BC.
3. Угол C: Угол C = 180 - (40 + 40) = 180 - 80 = 100 градусов. На чертеже указан угол C = 70 градусов, что противоречит условию, где углы при основании 40 градусов. Будем исходить из чертежа, где углы при основании AB равны 40 градусов.
4. Пересмотр условия: Если угол C = 70, и углы при основании равны 40, то сумма углов 70 + 40 + 40 = 150, что не равно 180.
5. Исходя из чертежа, где углы при основании B и A равны 40 градусов: Треугольник ABC — равнобедренный, AC = BC. Угол C = 180 - (40 + 40) = 100 градусов.
6. Точка M: BM = MA. M — середина AB.
7. Точка D: BD = AD. D — середина AB.
8. Вывод: Точки M и D совпадают, так как оба являются серединами AB.
9. Рассмотрим треугольник BCM: Угол CBM = 40 градусов. Угол BMC = 90 градусов (так как M — середина AB, и если треугольник ABC равнобедренный, то медиана к основанию является высотой).
10. Угол BCM: Угол BCM = 180 - (40 + 90) = 50 градусов.
11. На чертеже: Указано, что угол ABC = 40 градусов, угол BAC = 40 градусов, а угол C = 70 градусов. Это противоречие.
12. Предположим, что на чертеже указаны правильные углы, а условие AM=MB, BD=AD — верно.
13. Если Угол ABC = 40, Угол BAC = 40, то AC = BC. Угол C = 100.
14. M и D — середины AB. Значит M=D.
15. Тогда CD = MD.
16. В треугольнике ABC, если M - середина AB, то CM - медиана.
17. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и биссектрисой.
18. Значит, CM перпендикулярно AB, и угол CMA = 90 градусов.
19. Угол ACB = 100 градусов. Биссектриса CM делит его на 50 градусов.
20. Рассмотрим треугольник ACM: Угол CAM = 40, Угол CMA = 90, Угол ACM = 50.
21. Дано: BM = MA = 14. (На чертеже указано 14).
22. AB = AM + MB = 14 + 14 = 28.
23. В треугольнике ACM:
$$ \tan(40^{\circ}) = \frac{CM}{AM} \Rightarrow CM = AM \times \tan(40^{\circ}) = 14 \times \tan(40^{\circ}) \approx 14 \times 0.839 = 11.746 $$
24. CD = CM = 11.746
25. Проверим с углом C = 70.
26. Если угол C = 70, и углы при основании равны (угол A = угол B), то (180 - 70)/2 = 110/2 = 55 градусов.
27. Значит, на чертеже углы 40, 40, 70 неверны.
28. Предположим, что углы 40, 40, 100 верны.
29. Тогда AB = 28.
30. CM = 11.746.
31. CD = 11.746.
32. Если на чертеже указано, что BM = MA = 14, и углы при основании AB равны 40 градусов, то AB = 28.
33. Треугольник ABC равнобедренный, AC = BC.
34. M и D — середины AB. Значит M = D.
35. CM — медиана, следовательно, CM — высота. Угол CMA = 90.
36. В прямоугольном треугольнике ACM:
$$ \tan(\text{Угол } A) = \frac{CM}{AM} \\ \tan(40^{\circ}) = \frac{CM}{14} \\ CM = 14 \times \tan(40^{\circ}) \approx 14 \times 0.839 = 11.746 $$
37. Так как M=D, то CD = CM.

Ответ: $$14 \tan(40^{\circ})$$