10. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 8.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD. Основания равны \( a = 8 \) и \( b = 3 \). Угол между диагональю и основанием равен 45°. Опустим высоту BH из вершины B на большее основание AD. Тогда \( AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8-3}{2} = 2.5 \). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол \( ∠ BAH = 45° \). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то \( ∠ ABH = 180° - 90° - 45° = 45° \). Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и \( AH = BH \). Высота трапеции равна \( h = BH = AH = 2.5 \).

Ответ: 2.5