10. Диагональ равнобедренной трапеции образует с одной её боковой стороной угол 30°, а с другой — 45°. Найдите отношение оснований трапеции.

Обозначим основания трапеции через a и b, где a > b, а высоту — через h. Горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен x = (a − b)/2.

Расположим большую базу горизонтально, а верхнюю базу симметрично относительно неё. Для диагонали, соединяющей нижнюю вершину с противоположной верхней, горизонтальная проекция равна a − x = (a + b)/2. Угол между диагональю и боковой стороной в нижней вершине равен 30°, а в верхней — 45° (или наоборот).

Пусть t — угол диагонали с основанием. Тогда для нижней боковой стороны угол с основанием равен t + 30°, а для верхней — 180° − (t + 45°). В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому t + 30° = 180° − (t + 45°), откуда t = 52.5°.

Из прямоугольного треугольника с диагональю следует, что отношение суммы оснований к разности оснований определяется тангенсом t. В результате основания относятся как \(\tan 52.5^\circ : \tan 7.5^\circ = 7 : 1\).

Ответ: 7 : 1.