10. Докажи, что площадь зелёной фигуры равна площади жёлтой фигуры.

Решение:

Рассмотрим сетку. Каждая клетка имеет одинаковую площадь.

1. Площадь жёлтой фигуры: Жёлтая фигура состоит из большего квадрата с вычетом меньшего квадрата. Большой квадрат имеет сторону 5 клеток. Малый квадрат имеет сторону 2 клетки. Площадь жёлтой фигуры: \( 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 \) клетка.
2. Площадь зелёной фигуры: Зелёная фигура состоит из четырёх равных треугольников. Каждый треугольник имеет основание 5 клеток и высоту 2 клетки (половина стороны большого квадрата минус половина стороны малого квадрата). Площадь одного треугольника: \( \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5 \) клеток. Общая площадь зелёной фигуры: \( 4 \times 5 = 20 \) клеток.
3. Анализ: По рисунку видно, что зелёная фигура состоит из 4 треугольников, стороны которых равны 5 клеткам. Высота каждого треугольника, проведенная к основанию, равна 2 клеткам. Площадь каждого треугольника: \( \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5 \) клеток. Общая площадь зелёной фигуры: \( 4 \times 5 = 20 \) клеток.
4. Проблема в интерпретации: Похоже, что на изображении допущена неточность или я неправильно интерпретирую. Однако, если предположить, что зелёная фигура — это равносоставленная фигура с жёлтой, или что она занимает ту же площадь, то можно рассмотреть следующую логику:
5. Переосмысление: Предположим, что зелёная фигура образована двумя парами равных треугольников, вписанных в большой квадрат. Стороны большого квадрата — 5 клеток, малого — 2 клетки.
6. Жёлтая площадь: \( 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 \) клетка.
7. Зелёная площадь: В зелёной фигуре 4 треугольника. Основание каждого треугольника — 5 клеток. Высота каждого треугольника — 2 клетки. Площадь одного треугольника \( \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5 \) клеток. Общая площадь зелёной фигуры \( 4 \times 5 = 20 \) клеток.
8. Альтернативный подход: Если мы внимательно посмотрим на рисунок, то видим, что зелёная фигура состоит из 4 треугольников, вписанных в большой квадрат (сторона 5 клеток). Катеты каждого треугольника равны 5 клеткам, но они расположены так, что вершины квадрата совпадают с вершинами квадрата.
9. Пересчет по клеткам: Количество полных клеток в зелёной фигуре: 20. Количество полных клеток в жёлтой фигуре: 21.
10. Вывод: Исходя из прямого подсчета клеток, площадь зелёной фигуры (20 клеток) не равна площади жёлтой фигуры (21 клетка). Вероятно, в условии задачи или на рисунке есть неточность, или требуется другое толкование.
11. Возможное толкование для доказательства равенства: Если бы зелёная фигура была составлена из 4 треугольников с катетами 5 и 2, то её площадь была бы \( 4 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 20 \) клеток. Жёлтая фигура — это квадрат \( 5 \times 5 \) минус квадрат \( 2 \times 2 \), что равно \( 25 - 4 = 21 \) клетка.
12. Для того чтобы площади были равны, нужно, чтобы площадь зелёной фигуры была 21 клетка. Это могло бы произойти, если бы, например, каждый из 4 треугольников имел площадь \( 21 / 4 = 5.25 \) клеток.
13. Заключение: По прямому подсчету клеток, площади не равны. Для доказательства равенства, как указано в условии, требуется иное построение фигуры или уточнение её размеров.

Примечание: На основании прямого подсчета клеток, площадь зелёной фигуры составляет 20 клеток, а площадь жёлтой фигуры — 21 клетку. Условие задачи, вероятно, содержит ошибку или требует дополнительного пояснения/корректировки рисунка для доказательства равенства площадей.