10. Докажите, что разность, произведение и частное двух ненулевых рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — рациональные числа.

Пусть \(a=\frac mn\) и \(b=\frac pq\), где \(m,n,p,q\in Z\), \(n\ne0\), \(q\ne0\).

1. Разность: \(a-b=\frac mn-\frac pq=\frac{mq-pn}{nq}\). Числитель и знаменатель целые, знаменатель не равен нулю, значит, разность рациональна.
2. Произведение: \(ab=\frac mn\cdot\frac pq=\frac{mp}{nq}\). Поэтому произведение рационально.
3. Частное: поскольку \(b\ne0\), имеем \(p\ne0\). Тогда \(\frac ab=\frac mn:\frac pq=\frac{mq}{np}\). Знаменатель не равен нулю, значит, частное рационально.

Ответ: разность, произведение и частное рациональных чисел при указанных условиях являются рациональными числами.