10. (Дополнительная задача.) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведены высота CH, биссектриса CL и медиана CM. Найдите угол MCH, если ∠MCL = α.

Решение:

Пусть \( \angle CAB = \beta \), тогда \( \angle CBA = 90° - \beta \).

1. Высота CH:

В прямоугольном треугольнике ACH (\( \angle AHC = 90° \)): \( \angle ACH = 90° - \angle CAB = 90° - \beta \).

2. Биссектриса CL:

\( \angle ACL = \angle LCB = \frac{1}{2} · \angle ACB = · \frac{1}{2} · 90° = 45° \).

3. Медиана CM:

Медиана CM делит прямой угол \( \angle ACB \) на два угла. В прямоугольном треугольнике CMB (\( \angle CMB = 90° \)):

\( \text{tg}(\angle CBM) = \frac{CM · · ·}{BM} \) - это неверный подход.

Рассмотрим треугольник BCM. BM = AM = MC (свойство медианы, проведенной к гипотенузе).

Рассмотрим треугольник ACM. AM = MC. Следовательно, треугольник ACM равнобедренный.

\( \angle MAC = \angle MCA = \beta \).

\( \angle MCB = 90° - \angle MAC = 90° - \beta \).

4. Найдем угол MCL:

\( \angle MCL = \angle ACL - \angle ACM = 45° - \beta \).

По условию, \( \angle MCL = \alpha \). Следовательно, \( \alpha = 45° - \beta \).

5. Найдем угол MCH:

\( \angle MCH = \angle ACH - \angle ACM = (90° - \beta) - \beta = 90° - 2\beta \).

Нам нужно выразить \( \angle MCH \) через \( \alpha \).

Из \( \alpha = 45° - \beta \) следует \( \beta = 45° - \alpha \).

Подставим \( \beta \) в выражение для \( \angle MCH \):

\( \angle MCH = 90° - 2(45° - \alpha) = 90° - 90° + 2\alpha = 2\alpha \).

Ответ: 2α.