10. Два велосипедиста одновременно отправились в 96-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Решение задачи:

1. Обозначим переменные:
   Пусть $$v_2$$ — скорость второго велосипедиста (км/ч).
   Тогда скорость первого велосипедиста $$v_1 = v_2 + 4$$ (км/ч).
   Пусть $$t_1$$ — время первого велосипедиста (ч).
   Пусть $$t_2$$ — время второго велосипедиста (ч).
2. Запишем известные данные:
   Расстояние $$S = 96$$ км.
   Первый велосипедист прибыл на 4 часа раньше второго, значит, $$t_2 = t_1 + 4$$ (ч).
3. Используем формулу расстояния: $$S = v \times t$$.
• Для первого велосипедиста: $$96 = v_1 \times t_1 \newline 96 = (v_2 + 4) \times t_1$$
• Для второго велосипедиста: $$96 = v_2 \times t_2 \newline 96 = v_2 \times (t_1 + 4)$$
4. Выразим время из уравнений:
• Из первого уравнения: $$t_1 = \frac{96}{v_2 + 4}$$
• Из второго уравнения: $$t_1 = \frac{96}{v_2} - 4$$
5. Приравняем выражения для $$t_1$$:
\[ \frac{96}{v_2 + 4} = \frac{96}{v_2} - 4 \]
6. Решим полученное уравнение относительно $$v_2$$:
   Приведем дроби к общему знаменателю.
\[ \frac{96}{v_2 + 4} = \frac{96 - 4v_2}{v_2} \]\[ 96v_2 = (v_2 + 4)(96 - 4v_2) \]\[ 96v_2 = 96v_2 - 4v_2^2 + 384 - 16v_2 \]\[ 0 = -4v_2^2 - 16v_2 + 384 \]
7. Упростим уравнение, разделив на -4:
\[ v_2^2 + 4v_2 - 96 = 0 \]
8. Найдем корни квадратного уравнения (через дискриминант):
   $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-96) = 16 + 384 = 400$$.
   $$\\sqrt{D} = \\sqrt{400} = 20$$.
• $$v_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
• $$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$
9. Выберем подходящую скорость: Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v_2 = 8$$ км/ч.
10. Найдем скорость первого велосипедиста:
$$v_1 = v_2 + 4 = 8 + 4 = 12$$ км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, составляет 12 км/ч.