10. Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\(OA\) и \(OB\) — радиусы окружности. \(OA \perp \text{касательная в точке A}\), \(OB \perp \text{касательная в точке B}\).

Рассмотрим четырёхугольник \(OACB\), где \(C\) — точка пересечения касательных.

Сумма углов четырёхугольника равна \(360^{\circ}\).

\( \angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ} \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).

\( \angle ACB = 72^{\circ} \) (по условию).

\( \angle AOB = 360^{\circ} - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \). \(OA = OB\) (радиусы), поэтому \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

Сумма углов в \( \triangle ABO \) равна \(180^{\circ}\).

\( \angle OAB = \angle OBA \).

\[ \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \]

Ответ: 36