10. Катер прошёл 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 ч 10 мин. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Пусть собственная скорость катера составляет х км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как \( x \) км/ч. Скорость течения реки равна 1 км/ч.

Скорость катера по течению: \( x + 1 \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( x - 1 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( \frac{30}{x+1} \) ч.

Время в пути против течения: \( \frac{30}{x-1} \) ч.

Общее время в пути: 3 часа 10 минут = \( 3 \frac{10}{60} = 3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6} \) ч.

Уравнение, соответствующее условию задачи: \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = \frac{19}{6} \).

Рассмотрим предложенные варианты:

• А) \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3,1 \) (3,1 ≠ \( \frac{19}{6} \))
• Б) \( \frac{30}{x+1} - \frac{30}{x-1} = 3,1 \) (Неправильная операция сложения вместо вычитания)
• B) \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3 \frac{1}{6} \) (Это правильный вариант, но он представлен с другим обозначением)
• Г) \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3 \frac{1}{6} \) (Это правильный вариант)

Если учесть, что в варианте В) и Г) есть одна и та же дробь \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} \), и время равно \( 3 \frac{1}{6} \), то можно выбрать один из них. В условии задачи написано \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3,1 \). Если 3,1 = \( \frac{31}{10} \), а \( 3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6} \). Если \( 3,1 \) - это ошибка, и должно быть \( 3 \frac{1}{6} \), то правильный вариант - Г.

Перепроверим условие. Там написано 3 ч 10 мин. 3 ч 10 мин = \( 3 + \frac{10}{60} \) ч = \( 3 + \frac{1}{6} \) ч = \( \frac{18+1}{6} \) ч = \( \frac{19}{6} \) ч. \( \frac{19}{6} \) = \( 3.1666... \) . Если в задании \( 3.1 \) - это округление, то может быть вариант А. Если \( 3 \frac{1}{6} \) - точнее, то Г.

Однако, учитывая, что дробь \( 3 \frac{1}{6} \) присутствует в вариантах В и Г, а \( 3,1 \) в варианте А, и \( 3 \frac{1}{6} \) = \( \frac{19}{6} \), а \( 3,1 = \frac{31}{10} \) = \( 3 \frac{1}{10} \), то \( 3 \frac{1}{6} \) ≠ \( 3,1 \). Поэтому вариант А не подходит. Сравнивая В и Г, они идентичны.

Скорее всего, в варианте А) допущена опечатка, и должно быть \( 3 \frac{1}{6} \).

Если брать вариант Г, то \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3 \frac{1}{6} \).

Умножим обе части уравнения на \( 6(x+1)(x-1) \):

\( 30 · 6 (x-1) + 30 · 6 (x+1) = 19 (x+1)(x-1) \)

\( 180(x-1) + 180(x+1) = 19(x^2-1) \)

\( 180x - 180 + 180x + 180 = 19x^2 - 19 \)

\( 360x = 19x^2 - 19 \)

\( 19x^2 - 360x - 19 = 0 \)

D = \( (-360)^2 - 4 · 19 · (-19) = 129600 + 1444 = 131044 \)

\( \sqrt{D} \approx 362 \)

\( x = \frac{360 ± 362}{38} \)

\( x_1 = \frac{722}{38} \approx 19 \) км/ч

\( x_2 = \frac{-2}{38} \) (не подходит, скорость не может быть отрицательной)

Итак, уравнение \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3 \frac{1}{6} \) подходит.

В задании варианты А и Г представлены следующим образом: А) \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3,1 \) и Г) \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3 \frac{1}{6} \).

Поскольку 3 ч 10 мин = \( 3 \frac{1}{6} \), то вариант Г) является правильным.

Ответ: Г) \( \frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3 \frac{1}{6} \).