12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, причём первый из них может выполнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго. Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за х ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

Решение:

Пусть первый рабочий выполняет задание за x часов.

Тогда второй рабочий выполняет задание за (x + 15) часов.

Производительность первого рабочего = 1/x (часть задания в час).

Производительность второго рабочего = 1/(x + 15) (часть задания в час).

Когда они работают вместе, их производительность складывается, и они выполняют задание за 10 часов. Это означает, что их совместная производительность равна 1/10 (часть задания в час).

Следовательно, уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+15} = \frac{1}{10} \]

Теперь сравним с предложенными вариантами:

A) 15/x + 15/(10-x) = 1 (Неверно)

Б) 15/x + 15/(x-10) = 1 (Неверно)

В) 10/x + 10/(x+15) = 1 (Неверно)

Г) 10/x + 10/(x-15) = 1 (Неверно)

Похоже, что в вариантах ответов есть несоответствие условию задачи. Однако, если бы переменная x обозначала время выполнения ВСЕГО задания первым рабочим, то:

Время первого рабочего = x часов.

Время второго рабочего = x + 15 часов.

Производительность первого = 1/x.

Производительность второго = 1/(x + 15).

Совместная производительность = 1/10.

Уравнение: ⅑/x + ⅑/(x + 15) = ⅑/10

Если бы x было время выполнения работы ВМЕСТЕ, то:

Время первого = x + 15

Время второго = x + 15 + 15 = x + 30 (если первый на 15 ч быстрее ВТОРОГО)

Если первый рабочий может выполнить задание за x часов, а второй за y часов, то:

⅑/x + ⅑/y = ⅑/10

И y = x + 15.

Подставляем y:

⅑/x + ⅑/(x + 15) = ⅑/10

Рассмотрим предложенные варианты снова. Возможно, в них используется другая логика или другая переменная.

В варианте Б: 15/x + 15/(x-10) = 1. Здесь 15 - это, вероятно, какое-то количество работы. x - время первого. x-10 - время второго? Но это противоречит условию, что второй на 15 часов дольше.

В варианте В: 10/x + 10/(x+15) = 1. Если x - это производительность первого, а 10 - время совместной работы. Нет, это тоже не сходится.

Если предположить, что в вариантах ответов x - это производительность первого рабочего (часть работы за час), тогда:

Производительность первого = x.

Производительность второго = x - 1/15 (если первый быстрее второго на 15 часов, то его производительность БОЛЬШЕ). Или x + 1/15 (если второй на 15 часов дольше, то его производительность МЕНЬШЕ).

Пусть x - это время, за которое ПЕРВЫЙ рабочий выполняет ВСЮ работу.

Тогда время второго рабочего = x + 15.

Производительность первого = 1/x.

Производительность второго = 1/(x + 15).

Совместная производительность = 1/10.

⅑/x + ⅑/(x + 15) = ⅑/10

Ни один из предложенных вариантов не соответствует этому уравнению. Однако, если внимательно посмотреть на вариант В:

В) 10/x + 10/(x+15) = 1

Это уравнение имеет смысл, если:

x - это время, за которое ПЕРВЫЙ рабочий выполняет 10 единиц работы (а не всю работу).

Тогда производительность первого = 10/x.

Второй рабочий выполняет 10 единиц работы за (x+15) часов.

Производительность второго = 10/(x+15).

Их совместная работа по выполнению 10 единиц равна 1 (одной единице работы).

Это крайне нестандартная постановка. Более вероятен вариант, что в задании ошибка.

Если бы вопрос был: «Каково время выполнения работы первым рабочим?» и варианты были бы как числа, то мы бы решили уравнение ⅑/x + ⅑/(x + 15) = ⅑/10.

Рассмотрим другие варианты:

А) 15/x + 15/(10-x) = 1. Здесь x - это, видимо, скорость первого, а 10-x - скорость второго. 15 - объем работы. Но 10-x как скорость вызывает вопросы.

Б) 15/x + 15/(x-10) = 1. Здесь x - время первого. x-10 - время второго. Но разница должна быть 15.

Г) 10/x + 10/(x-15) = 1. Здесь x - время первого. x-15 - время второго. Разница 15. Это соответствует условию. Если x - время первого, то время второго x+15. Следовательно, производительность первого 1/x, второго 1/(x+15). Сумма = 1/10. Вариант Г выглядит как 10/x + 10/(x-15) = 1, что означает, что за время x первый рабочий выполняет 10 единиц работы, а второй за время x-15 выполняет 10 единиц работы. Это тоже не совсем точно.

Давайте предположим, что в варианте Г, x — это время первого рабочего, а x-15 — это время второго рабочего. Тогда разница во времени 15 часов. Но условие говорит, что первый быстрее ВТОРОГО, значит время второго должно быть БОЛЬШЕ. Значит, если первый за x, то второй за x+15. И производительность обоих вместе за 10 часов равна 1.

Перечитаем варианты и условие:

«Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за x ч.»

«второго. [...] на 15 ч быстрее второго.» -> Значит, первый быстрее второго.

Следовательно, время первого (x) < время второго.

Разница во времени = 15 часов. Значит, время второго = x + 15.

Совместная работа = 10 часов.

Уравнение: ⅑/x + ⅑/(x + 15) = ⅑/10

Теперь посмотрим на вариант Г: 10/x + 10/(x-15) = 1.

Если x - это время выполнения 10 единиц работы ПЕРВЫМ рабочим, тогда его производительность 10/x. Если время ВТОРОГО рабочего для 10 единиц работы равно x-15, то его производительность 10/(x-15). И суммарно они выполняют 1 единицу работы. Это нелогично.

Давайте предположим, что в варианте Г, x - это время выполнения ВСЕЙ работы ПЕРВЫМ рабочим. Тогда время второго рабочего = x+15. Совместная работа = 10 часов. Тогда уравнение должно быть 1/x + 1/(x+15) = 1/10.

Рассмотрим вариант Г еще раз: 10/x + 10/(x-15) = 1.

Если x — это время, которое ТРАТИТ первый рабочий на выполнение 10 единиц работы, а x-15 — время, которое тратит второй рабочий на выполнение 10 единиц работы. Тогда разница во времени 15 часов. Но это не совпадает с условием, что первый быстрее второго.

Есть вероятная ошибка в вариантах ответа.

Однако, если предположить, что x — это время, которое первый рабочий тратит на выполнение 10 единиц работы, а x+15 — время, которое тратит второй рабочий на выполнение 10 единиц работы, то уравнение было бы 10/x + 10/(x+15) = 10. Это не вариант.

Если x — время ПЕРВОГО рабочего на ВСЮ работу, а x+15 — время ВТОРОГО рабочего на ВСЮ работу, то:

Производительность первого = 1/x.

Производительность второго = 1/(x+15).

Совместно за 10 часов выполняют 1 работу: 10 * (1/x + 1/(x+15)) = 1.

Раскрываем скобки: 10/x + 10/(x+15) = 1.

Это очень похоже на вариант В, НО в варианте В знаменатель второго члена x+15, а в варианте Г — x-15.

Итак, если x — время первого рабочего, то время второго — x+15. Их совместная работа за 10 часов равна 1. Значит, 10/x + 10/(x+15) = 1.

Таким образом, вариант В наиболее близок, если предположить, что 10 в числителе означает, что рассматривается выполнение 10 единиц работы, а не всей работы, и итогом является выполнение 1 единицы работы.

Наиболее вероятный правильный ответ, исходя из логики построения уравнений для задач на совместную работу, это В, если интерпретировать его как: 10 часов работы первого + 10 часов работы второго = 1 вся работа.

Ответ: В) 10/x + 10/(x+15) = 1