10 Кондитер испёк 40 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной крошкой (рогалик, политый глазурью, может быть посыпан сахарной крошкой). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Найдутся 10 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной крошки. 2) Найдутся 13 рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная крошка. 3) Не может оказаться меньше 15 рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная крошка. 4) Не может оказаться больше 20 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной крошки.

Давайте разберем эту задачу с помощью множеств.

Всего рогаликов: 40.

Пусть:

• A - множество рогаликов с глазурью (10 шт.).
• B - множество рогаликов с сахарной крошкой (20 шт.).

Нам нужно найти, сколько рогаликов имеют только глазурь, только крошку, и сколько имеют и то, и другое.

1. Максимальное количество рогаликов с глазурью и крошкой (A ∩ B):

Если все 10 рогаликов с глазурью также посыпаны крошкой, то |A ∩ B| = 10.

Максимальное количество рогаликов без глазури и без крошки:

Всего - (только глазурь + только крошка + и то, и другое) = 40 - ( (10-10) + (20-10) + 10 ) = 40 - (0 + 10 + 10) = 20.

Минимальное количество рогаликов с глазурью и крошкой (A ∩ B):

Если рогалики с глазурью и рогалики с крошкой максимально разнесены, то есть рогалики с глазурью не пересекаются с рогаликами с крошкой, кроме тех, что могут иметь и то, и другое. Здесь важен принцип включения-исключения: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|. Известно, что |A ∪ B| <= 40.

\[ 10 + 20 - |A \cap B| \le 40 \]

\[ 30 - |A \cap B| \le 40 \]

\[ |A \cap B| \ge 30 - 40 = -10 \]

Но количество не может быть отрицательным. Минимальное число рогаликов с обоими покрытиями будет, когда мы максимально «утрамбуем» рогалики с глазурью и крошкой. Наибольшее число рогаликов, которые могут иметь только одно покрытие: 10 (глазурь) + (20 - 10) (только крошка) = 20. Тогда 40 - 20 = 20 рогаликов могут быть без покрытий.

Минимальное пересечение:

Используем формулу: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|. Мы знаем, что |A ∪ B| ≤ 40.

\[ 40 \ge 10 + 20 - |A \cap B| \]

\[ 40 \ge 30 - |A \cap B| \]

\[ |A \cap B| \ge 30 - 40 \]

\[ |A \cap B| \ge -10 \]

Минимальное значение |A ∩ B| = max(0, |A| + |B| - |Всего|) = max(0, 10 + 20 - 40) = max(0, -10) = 0.

Итак, количество рогаликов с глазурью И крошкой может быть от 0 до 10.

Количество рогаликов БЕЗ глазури И БЕЗ крошки:

Всего - |A ∪ B| = 40 - |A ∪ B|.

Максимум |A ∪ B| = 30 (когда |A ∩ B| = 0). В этом случае без покрытий: 40 - 30 = 10.

Минимум |A ∪ B| = 30 (когда |A ∩ B| = 0).

Максимум |A ∩ B| = 10. Тогда |A ∪ B| = 10 + 20 - 10 = 20. Без покрытий: 40 - 20 = 20.

Значит, количество рогаликов без глазури и крошки может быть от 10 до 20.

Теперь проверим утверждения:

1. Найдутся 10 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной крошки.

Да, такое возможно (когда 20 рогаликов имеют и глазурь, и крошку, или когда 0 рогаликов имеют и то, и другое, но 10 рогаликов имеют только крошку, а 10 - только глазурь. Тогда 40-10-10-0 = 20 рогаликов без покрытий. Если 10 рогаликов имеют оба покрытия, то 10 с глазурью, 20 с крошкой. 10 имеют оба. 0 имеют только глазурь. 10 имеют только крошку. 10 + 10 + 0 = 20. 40 - 20 = 20 без покрытий. Если 0 рогаликов имеют оба покрытия. 10 с глазурью, 20 с крошкой. 40-10-20=10. Верно, может быть 10.

2. Найдутся 13 рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная крошка.

Нет. Максимум рогаликов, которые могут иметь оба покрытия, равно 10 (так как только 10 рогаликов с глазурью).

3. Не может оказаться меньше 15 рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная крошка.

Это неверно. Может оказаться 0 рогаликов с обоими покрытиями.

4. Не может оказаться больше 20 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной крошки.

Да, это верно. Максимальное количество рогаликов без покрытий равно 20 (когда 10 рогаликов имеют оба покрытия).

Правильные утверждения: 1 и 4.

Ответ: 1, 4