10. Кусок проволоки длиной 78 см надо разрезать на несколько частей длиной 12 см и несколько частей длиной 15 см, но так, чтобы обрезков не было. Как это сделать?

Для того чтобы разрезать проволоку длиной 78 см на части длиной 12 см и 15 см без остатка, необходимо найти такие целые числа \(x\) (количество частей по 12 см) и \(y\) (количество частей по 15 см), чтобы выполнялось уравнение:

\[ 12x + 15y = 78 \]

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить:

\[ 4x + 5y = 26 \]

Теперь нужно подобрать целые неотрицательные значения \(x\) и \(y\).

• Если \(y = 0\), то \(4x = 26\), \(x = 6.5\) (не целое).
• Если \(y = 1\), то \(4x + 5 = 26\), \(4x = 21\), \(x = 5.25\) (не целое).
• Если \(y = 2\), то \(4x + 10 = 26\), \(4x = 16\), \(x = 4\). Это целое решение.
• Если \(y = 3\), то \(4x + 15 = 26\), \(4x = 11\), \(x = 2.75\) (не целое).
• Если \(y = 4\), то \(4x + 20 = 26\), \(4x = 6\), \(x = 1.5\) (не целое).
• Если \(y = 5\), то \(4x + 25 = 26\), \(4x = 1\), \(x = 0.25\) (не целое).
• Если \(y > 5\), то \(5y > 26\), что невозможно при \(x \geq 0\).

Таким образом, единственное целочисленное решение — это \(x=4\) и \(y=2\).

Ответ: Нужно разрезать проволоку на 4 части длиной 12 см и 2 части длиной 15 см.