10. Можно ли целые числа от 1 до 1000 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма любых 10 подряд идущих чисел делилась на 10?

Предположим, что такое расположение возможно. Пусть Sᵢ — сумма чисел на местах от i до i + 9. Тогда для соседних сумм разность Sᵢ₊₁ − Sᵢ равна числу на месте i + 10 минус число на месте i. Обе суммы делятся на 10, поэтому числа на местах i и i + 10 имеют одинаковые остатки при делении на 10.

Значит, все числа, стоящие на местах одного класса по остатку при делении номера места на 10, имеют одинаковый остаток при делении на 10. В каждом таком классе по 100 мест. Среди чисел от 1 до 1000 каждый остаток от 0 до 9 встречается ровно 100 раз, поэтому десять классов мест должны соответствовать десяти разным остаткам.

Тогда первые десять чисел имеют остатки 0, 1, 2, …, 9. Их сумма при делении на 10 даёт остаток 45, то есть 5, а не 0. Это противоречит условию, что сумма любых десяти подряд идущих чисел делится на 10.

Ответ: нет, нельзя.