10. На дачном участке через сад проходит прямая канава. Чтобы её аккуратно обойти, хозяин решил проложить дорожку, параллельную канаве. Для этого он отметил на одной стороне сада две точки: А и В, а на другой — точку так, что АС и ВС — границы участка. Затем на отрезке АС он отметил точку D так, что AD = 6 м, а DC = 9 м. Через точку D он провёл прямую, параллельную ВС, которая пересекла сторону АВ в точке Е. Найдите длину отрезка АЕ если АВ = 10 м.

Дано:

• $$DE \parallel BC$$.
• $$AC$$ и $$BC$$ — границы участка.
• $$D$$ лежит на $$AC$$.
• $$AD = 6$$ м.
• $$DC = 9$$ м.
• $$E$$ лежит на $$AB$$.
• $$AB = 10$$ м.

Найти: Длину отрезка $$AE$$.

Решение:

1. Отношение отрезков на стороне AC: Точка $$D$$ делит отрезок $$AC$$ на два отрезка. Длина $$AC = AD + DC = 6 \text{ м} + 9 \text{ м} = 15$$ м.
2. Подобие треугольников: Так как $$DE ―$$ дорожка, параллельная канаве $$BC$$, и $$DE ―$$ пересекает стороны $$AC$$ и $$AB$$, то $$\triangle ADE$$ подобен $$\triangle ABC$$ (по двум углам: $$\angle A$$ — общий, $$\angle ADE = \angle ACB$$ как соответственные углы при параллельных $$DE$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$).
3. Коэффициент подобия: Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон:
   • $$k = \frac{AD}{AC} = \frac{6 \text{ м}}{15 \text{ м}} = \frac{2}{5}$$.
4. Нахождение длины AE: Так как треугольники подобны, то отношение соответствующих сторон $$AE$$ и $$AB$$ также равно коэффициенту подобия $$k$$:
   • $$\frac{AE}{AB} = k$$
   • $$\frac{AE}{10 \text{ м}} = \frac{2}{5}$$
   • $$AE = \frac{2}{5} \times 10 \text{ м} = 4$$ м.

Ответ: 4 м