10) На клетчатой бумаге с рааме- ром клетки 1х1 изображен тре- угольник АВС. Найдите сумму его углов АВС и САВ. Ответ дай- те в градусах. C Ответ:

Давай определим углы по клеткам!

Анализ треугольника ABC:

Посмотри на рисунок. Точки имеют следующие координаты:

• C: (0, 0)
• B: (3, 0)
• A: (1, 3)

1. Найдем угол ABC ($$\\( \angle ABC \\)$$):

Этот угол находится в вершине B. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой B, точкой A и проекцией A на ось BC. Эта проекция будет точка (1, 0).

Вектор BA = (1-3, 3-0) = (-2, 3)

Вектор BC = (0-3, 0-0) = (-3, 0)

Мы можем найти тангенс угла B. Угол ABC — это угол между вектором BA и вектором BC.

Однако, проще посмотреть на треугольник, образованный точками B(3,0), A(1,3) и точкой (1,0). В этом треугольнике:

• Противолежащий катет (вертикальный) = 3
• Прилежащий катет (горизонтальный) = $$3 - 1 = 2$$

Тангенс угла, который образует BA с горизонталью, равен $$3/2$$. Угол ABC — это угол между горизонтальной линией BC и линией BA.

$$\\( \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{2} = 1.5 \\)$$

$$\\( \alpha = \arctan(1.5) \approx 56.3^{\circ} \\)$$

Тогда угол ABC равен $$180^{\circ} - \alpha$$ (если смотреть на угол внутри треугольника), но мы можем просто использовать тангенс угла между вектором BC и вектором BA.

Удобнее рассматривать угол между вектором $$\vec{BA} = (-2, 3)$$ и $$\vec{BC} = (-3, 0)$$.

$$\\( \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(-2)(-3) + (3)(0)}{\sqrt{(-2)^2 + 3^2} \sqrt{(-3)^2 + 0^2}} = \frac{6}{\sqrt{4+9} \sqrt{9}} = \frac{6}{\sqrt{13} \times 3} = \frac{2}{\sqrt{13}} \\)$$

\[ \angle ABC = \arccos(\frac{2}{\sqrt{13}}) \approx 56.3^{\circ} \]

2. Найдем угол CAB ($$\\( \angle CAB \\)$$):

Этот угол находится в вершине A.

Вектор AC = (0-1, 0-3) = (-1, -3)

Вектор AB = (3-1, 0-3) = (2, -3)

\[ \cos(\angle CAB) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| |\vec{AB}|} = \frac{(-1)(2) + (-3)(-3)}{\sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{-2 + 9}{\sqrt{1+9} \sqrt{4+9}} = \frac{7}{\sqrt{10} \sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{130}} \]

\[ \angle CAB = \arccos(\frac{7}{\sqrt{130}}) \approx 52.1^{\circ} \]

3. Найдем сумму углов ABC и CAB:

\[ \angle ABC + \angle CAB \approx 56.3^{\circ} + 52.1^{\circ} = 108.4^{\circ} \]

Замечание: Если бы мы посчитали приблизительно, то могли бы сказать, что угол ABC немного больше 45 градусов, а угол CAB примерно 45 градусов. Но для точного ответа лучше использовать координаты.

Альтернативный способ (визуальный):

Угол ABC: Посмотри на клетку, где находится B. Линия BC идет по горизонтали. Линия BA идет вверх и влево. Если провести вертикаль из A вниз до уровня BC, то мы получим прямоугольный треугольник с катетами 2 (по горизонтали) и 3 (по вертикали). Тангенс угла, который BA образует с горизонталью, равен 3/2. Угол ABC — это как раз этот угол.

Угол CAB: Посмотри на клетку, где находится A. Линия AC идет вниз и влево. Линия AB идет вниз и вправо. Если провести вертикаль из B вверх до уровня A, мы получим прямоугольный треугольник с катетами 2 (по горизонтали) и 3 (по вертикали). Тангенс угла, который AC образует с горизонталью, равен 3/1. Тангенс угла, который AB образует с горизонталью, равен 3/2. Это немного сложнее.

Самый простой способ - найти угол ACB.

Угол ACB: Вершина C в (0,0). Вектор CA = (1, 3), Вектор CB = (3, 0).

\[ \cos(\angle ACB) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{(1)(3) + (3)(0)}{\sqrt{1^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + 0^2}} = \frac{3}{\sqrt{10} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{10}} \]

\[ \angle ACB = \arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) \approx 71.565^{\circ} \]

Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$.

\[ \angle ABC + \angle CAB + \angle ACB = 180^{\circ} \]

\[ \angle ABC + \angle CAB = 180^{\circ} - \angle ACB \]

\[ \angle ABC + \angle CAB \approx 180^{\circ} - 71.565^{\circ} = 108.435^{\circ} \]

Округлим до десятых.

Ответ: 108.4