10. Найдите значение выражения (\(\sqrt{2}-1\))\(\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}\).

Решение:

Рассмотрим выражение под внешним квадратным корнем: \( \sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}} \). Начнем с внутреннего корня \( \sqrt{9-4\sqrt{2}} \).

Попробуем представить выражение \( 9-4\sqrt{2} \) как квадрат разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Заметим, что \( 4\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \). Можно предположить, что \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \) (или наоборот).

Проверим: \( a^2 = 2^2 = 4 \) и \( b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \).

Тогда \( a^2 + b^2 = 4 + 2 = 6 \). Это не равно 9.

Попробуем иначе. Заметим, что \( 9-4\sqrt{2} = 9 - \sqrt{16 \cdot 2} = 9 - \sqrt{32} \).

Перепишем \( 4\sqrt{2} \) как \( 2 \cdot \sqrt{8} \).

Теперь вернемся к \( \sqrt{9-4\sqrt{2}} \). Попробуем представить \( 9-4\sqrt{2} \) в виде \( (a-b\sqrt{2})^2 \) или \( (a\sqrt{2}-b)^2 \).

Если \( 9-4\sqrt{2} = (a-b)^2 \), то \( a^2+b^2=9 \) и \( 2ab = 4\sqrt{2} \) или \( ab=2\sqrt{2} \).

Попробуем \( a=2, b=\sqrt{2} \). Тогда \( a^2=4, b^2=2 \). \( a^2+b^2 = 4+2=6 \) (не подходит).

Попробуем \( a=\sqrt{7}, b=\sqrt{2} \)? \( a^2=7, b^2=2 \). \( a^2+b^2 = 9 \). \( ab=\sqrt{14} \) (не подходит).

Попробуем представить \( 9-4\sqrt{2} \) как \( x - 2\sqrt{y} \) или \( x + 2\sqrt{y} \) и найти \( r \) таких, что \( r = a+b \) и \( r^2 = 9 - 4\sqrt{2} \).

Проверим выражение \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Заметим, что \( 4\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \). Если \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \), то \( a^2+b^2 = 4+2=6 \) (не 9).

Если \( a=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \) и \( b=1 \), то \( a^2=8, b^2=1 \). \( a^2+b^2=9 \).

Тогда \( (2\sqrt{2}-1)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(1) + 1^2 = 8 - 4\sqrt{2} + 1 = 9 - 4\sqrt{2} \).

Значит, \( \sqrt{9-4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2}-1)^2} = |2\sqrt{2}-1| = 2\sqrt{2}-1 \) (так как \( 2\sqrt{2} > 1 \)).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}} = \sqrt{4+(2\sqrt{2}-1)} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} \]

Попробуем представить \( 3+2\sqrt{2} \) как квадрат суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Здесь \( 2ab = 2\sqrt{2} \), так что \( ab=\sqrt{2} \). Если \( a=1, b=\sqrt{2} \), то \( a^2+b^2 = 1^2+(\sqrt{2})^2 = 1+2=3 \).

Это совпадает с \( a^2+b^2=3 \).

Значит, \( 3+2\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2 \).

Тогда \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = |1+\sqrt{2}| = 1+\sqrt{2} \).

Теперь у нас есть всё, чтобы вычислить исходное выражение:

\[ (\sqrt{2}-1) \cdot (1+\sqrt{2}) \]

Это формула разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \), где \( a=\sqrt{2} \) и \( b=1 \).

\[ (\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \]

Среди предложенных вариантов, правильным является:

• a) 1;

Ответ: a) 1.