10. Около цилиндра описана правильная треугольная призма, объём которой равен 180 см³. Найдите объём цилиндра.

В основании призмы находится равносторонний треугольник, а основание цилиндра — вписанная в него окружность. Высоты призмы и цилиндра равны, поэтому отношение их объёмов равно отношению площадей оснований.

1. Пусть сторона равностороннего треугольника равна a. Его площадь равна √3a²/4, а радиус вписанной окружности — r = a√3/6.
2. Площадь круга: πr² = πa²/12. Отношение площади круга к площади треугольника равно (πa²/12) : (√3a²/4) = π/(3√3).
3. Объём цилиндра: 180 · π/(3√3) = 20√3π см³.

Ответ: 20√3π см³.