10. Период полураспада изотопа радия равен 1600 лет. Сколько ядер остается нераспавшимися за 3200 лет, если начальное число частиц 10^9.

Давай разберемся с этим заданием по шагам:

1. Период полураспада (T) - это время, за которое распадается половина исходного количества радиоактивных ядер. У нас T = 1600 лет.
2. Время наблюдения (t) - 3200 лет.
3. Начальное количество ядер ($$ N_0 $$) - $$ 10^9 $$ штук.

Сначала определим, сколько периодов полураспада прошло за 3200 лет:

\[ \text{Количество периодов} = \frac{t}{T} = \frac{3200 \text{ лет}}{1600 \text{ лет}} = 2 \]

Это значит, что прошло ровно 2 периода полураспада.

Теперь посчитаем, сколько ядер останется. Каждый период полураспада уменьшает количество ядер в 2 раза:

• После первого периода полураспада (1600 лет) останется: $$ N_1 = \frac{N_0}{2} = \frac{10^9}{2} $$
• После второго периода полураспада (еще 1600 лет, всего 3200 лет) останется: $$ N_2 = \frac{N_1}{2} = \frac{N_0}{2 \times 2} = \frac{N_0}{4} $$

Подставляем начальное количество ядер:

\[ N_2 = \frac{10^9}{4} = 0.25 \times 10^9 = 2.5 \times 10^8 \]

Ответ: $$ 2.5 \times 10^8 $$ ядер