10. Первый насос может выкачать всю воду из котлована за сутки, а второй - в три раза быстрее. После того как они, работая вместе, выкачали \( \frac{1}{3} \) всей воды, второй насос сломался. Остальную воду выкачал первый насос. За сколько времени была выкачана вся вода из этого котлована?

Решение:

1. Обозначим производительность первого насоса как \( x \) (воды в сутки). Тогда производительность второго насоса — \( 3x \) (воды в сутки).
2. За одни сутки оба насоса вместе выкачают \( x + 3x = 4x \) воды.
3. За \( t \) суток оба насоса вместе выкачают \( 4xt \) воды.
4. По условию, они вместе выкачали \( \frac{1}{3} \) всей воды. Пусть весь объём воды в котловане равен \( V \). Тогда \( 4xt = \frac{1}{3}V \).
5. Из этого следует, что \( x = \frac{V}{12t} \) (производительность первого насоса).
6. Второй насос сломался, когда они выкачали \( \frac{1}{3}V \) воды.
7. Оставшаяся вода составляет \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}V \).
8. Первый насос выкачал эту оставшуюся воду. Время, которое понадобилось первому насосу, равно \( \text{Объём} / \text{Производительность} = \frac{\frac{2}{3}V}{x} \).
9. Подставим значение \( x \) из шага 5: \( \frac{\frac{2}{3}V}{\frac{V}{12t}} = \frac{2}{3}V \cdot \frac{12t}{V} = \frac{2 \cdot 12t}{3} = 8t \).
10. Чтобы найти \( t \), нам нужно знать, за какое время первый насос выкачал бы всю воду, если бы работал один. Если первый насос выкачивает \( x \) воды в сутки, то всю воду \( V \) он выкачает за \( \frac{V}{x} \) суток. Подставляя \( x = \frac{V}{12t} \), получаем \( \frac{V}{\frac{V}{12t}} = 12t \) суток.
11. Таким образом, \( 12t \) — это время, за которое первый насос выкачивает всю воду.
12. Вместе они работали \( t \) суток. Первый насос выкачал \( \frac{2}{3}V \) воды за \( 8t \) суток.
13. Общее время выкачивания воды = время совместной работы + время работы первого насоса.
14. Однако, в условии задачи не указано, за какое время первый насос выкачал бы всю воду, если бы работал один. Предположим, что \( t \) — это та часть суток, которую они работали.
15. Вернемся к производительности. Пусть первый насос выкачивает \( 1 \) котлован за \( T_1 \) суток, а второй — за \( T_2 \) суток. По условию, \( T_2 = \frac{1}{3}T_1 \).
16. Совместная производительность: \( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} + \frac{3}{T_1} = \frac{4}{T_1} \) (котлована в сутки).
17. Они выкачали \( \frac{1}{3} \) котлована. Время их совместной работы \( t_{совм} = \frac{\frac{1}{3} \text{котлована}}{\frac{4}{T_1} \text{котлована/сутки}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{T_1}{4} = \frac{T_1}{12} \) суток.
18. Осталось выкачать \( \frac{2}{3} \) котлована. Это делает первый насос. Время работы первого насоса \( t_1 = \frac{\frac{2}{3} \text{котлована}}{\frac{1}{T_1} \text{котлована/сутки}} = \frac{2}{3}T_1 \) суток.
19. Общее время = \( t_{совм} + t_1 = \frac{T_1}{12} + \frac{2}{3}T_1 = \frac{T_1 + 8T_1}{12} = \frac{9T_1}{12} = \frac{3}{4}T_1 \) суток.
20. Так как \( T_1 \) — это время, за которое первый насос выкачивает весь котлован, а \( T_2 = \frac{1}{3}T_1 \) — время, за которое второй насос выкачивает весь котлован.
21. Пусть \( T_1 = 12 \) часов (или \( 0.5 \) суток, для удобства). Тогда \( T_2 = 4 \) часа.
22. Совместная производительность = \( \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1+3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) котлована в час.
23. Они выкачали \( \frac{1}{3} \) котлована. Время работы = \( \frac{1/3}{1/3} = 1 \) час.
24. Осталось выкачать \( \frac{2}{3} \) котлована. Первый насос выкачивает \( \frac{1}{12} \) котлована в час.
25. Время работы первого насоса = \( \frac{2/3}{1/12} = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \) часов.
26. Общее время = \( 1 \) час + \( 8 \) часов = \( 9 \) часов.
27. Если \( T_1 = 24 \) часа (1 сутки), то \( T_2 = 8 \) часов ( \( \frac{1}{3} \) суток).
28. Совместная производительность = \( 1 + 3 = 4 \) (единицы воды в сутки).
29. Выкачано \( \frac{1}{3} \) котлована. Пусть весь котлован = \( 12 \) единиц воды (наименьшее общее кратное 1, 3, 4).
30. Производительность первого насоса = \( 1 \) ед/сутки. Производительность второго насоса = \( 3 \) ед/сутки.
31. Совместная производительность = \( 1 + 3 = 4 \) ед/сутки.
32. Время совместной работы = \( \frac{1/3 \cdot 12}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) сутки.
33. За 1 сутки они выкачали \( 4 \) ед. воды.
34. Осталось выкачать \( 12 - 4 = 8 \) ед. воды.
35. Первый насос выкачивает \( 1 \) ед/сутки.
36. Время работы первого насоса = \( \frac{8}{1} = 8 \) суток.
37. Общее время = \( 1 + 8 = 9 \) суток.

Ответ: 9 суток.