10 Понедельник Тема: «Полные квадратные уравнения» Реши уравнение: 1)x²-7x+10 = 0; 2) x²-x+3 = 0; 3) 7x²-5x-2 = 0; 4) 4x²-11x-3 = 0; 5) x²-8x+16 = 0; 6) 10x²-11x+3 = 0. Для повторения D = b²-4ac 1. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. 2. Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень, а точнее, два одинаковых корня. 3. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня: x = -b±√D / 2a

Решение:

Решим каждое квадратное уравнение, используя дискриминант \( D = b^2 - 4ac \).

1. \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)

• \( a=1, b=-7, c=10 \)
• \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \)
• \( D > 0 \), значит, два корня.
• \( x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7+3}{2} = 5 \)
• \( x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7-3}{2} = 2 \)

2. \( x^2 - x + 3 = 0 \)

• \( a=1, b=-1, c=3 \)
• \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 \)
• \( D < 0 \), значит, действительных корней нет.

3. \( 7x^2 - 5x - 2 = 0 \)

• \( a=7, b=-5, c=-2 \)
• \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 \)
• \( D > 0 \), значит, два корня.
• \( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5+9}{14} = \frac{14}{14} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5-9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7} \)

4. \( 4x^2 - 11x - 3 = 0 \)

• \( a=4, b=-11, c=-3 \)
• \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 \)
• \( D > 0 \), значит, два корня.
• \( x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11+13}{8} = \frac{24}{8} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11-13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \)

5. \( x^2 - 8x + 16 = 0 \)

• \( a=1, b=-8, c=16 \)
• \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 \)
• \( D = 0 \), значит, один корень (два одинаковых).
• \( x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \)

6. \( 10x^2 - 11x + 3 = 0 \)

• \( a=10, b=-11, c=3 \)
• \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 121 - 120 = 1 \)
• \( D > 0 \), значит, два корня.
• \( x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{11+1}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)
• \( x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{11-1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)

Ответ: 1) 5; 2; 2) действительных корней нет; 3) 1; -2/7; 4) 3; -1/4; 5) 4; 6) 3/5; 1/2.