10. Представьте произведение $$0,0004 \cdot 125^x \cdot 100$$ в виде степени с основанием 5.

Решение:

Для представления произведения в виде степени с основанием 5, преобразуем каждый множитель:

1. \( 0,0004 = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4} \).
2. \( 125^x = (5^3)^x = 5^{3x} \).
3. \( 100 \) — это \( 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 \).

Теперь подставим преобразованные множители в исходное произведение:

\( 5^{-4} \cdot 5^{3x} \cdot (2^2 \cdot 5^2) \)

Сгруппируем степени с основанием 5:

\( 5^{-4} \cdot 5^{3x} \cdot 5^2 \cdot 2^2 = 5^{-4 + 3x + 2} \cdot 2^2 = 5^{3x - 2} \cdot 4 \)

В задании просят представить всё произведение в виде степени с основанием 5. Так как есть множитель \( 4 \), который не является степенью 5, то представить всё выражение в виде одной степени с основанием 5 невозможно, если \( x \) — неизвестная переменная.

Если предположить, что \( 0,0004 \cdot 100 = 0,04 \), а \( 0,04 \) нужно представить как степень 5, то \( 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} \).

Тогда произведение будет выглядеть так: \( 5^{-2} \cdot 125^x = 5^{-2} \cdot 5^{3x} = 5^{3x-2} \).

Ответ: \( 5^{3x-2} \).