10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение: a) \( \frac{x}{x-2} \) б) \( \frac{b+4}{b^2+7} \) в) \( \frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3} \) г) \( \frac{a+10}{a(a-1)} - 12 \)

Решение:

Рациональное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.

а) Знаменатель \( x - 2 \). Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы \( x - 2 \neq 0 \), то есть \( x \neq 2 \).

б) Знаменатель \( b^2 + 7 \). Поскольку \( b^2 \) всегда больше или равно нулю \( (b^2 \ge 0) \) для любого действительного \( b \), то \( b^2 + 7 \) всегда больше нуля \( (b^2 + 7 > 0) \). Значит, выражение имеет смысл при любом значении \( b \).

в) Данное выражение состоит из двух дробей. Первая дробь \( \frac{y^2-1}{y} \) имеет смысл, когда \( y \neq 0 \). Вторая дробь \( \frac{y}{y-3} \) имеет смысл, когда \( y - 3 \neq 0 \), то есть \( y \neq 3 \). Чтобы всё выражение имело смысл, оба условия должны выполняться одновременно, значит, \( y \neq 0 \) и \( y \neq 3 \).

г) Знаменатель \( a(a-1) \). Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы \( a(a-1) \neq 0 \). Это условие выполняется, когда \( a \neq 0 \) и \( a - 1 \neq 0 \), то есть \( a \neq 0 \) и \( a \neq 1 \).

Ответ: а) \( x \neq 2 \); б) любое значение \( b \); в) \( y \neq 0 \) и \( y \neq 3 \); г) \( a \neq 0 \) и \( a \neq 1 \).