10. Решите уравнение x² - 2x + √2 - x = √2 - x + 3.

Задание 10. Решение уравнения

Дано: уравнение \( x^2 - 2x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 3 \).

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем \( \sqrt{2-x} \) должно быть неотрицательным, то есть:

\[ 2 - x \ge 0 \]

\[ 2 \ge x \]

Таким образом, \( x \) может быть любым числом, меньшим или равным 2.

Теперь решим само уравнение. Обратим внимание, что \( \sqrt{2-x} \) присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть \( \sqrt{2-x} \) из обеих частей:

\[ x^2 - 2x + \sqrt{2-x} - \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} - \sqrt{2-x} + 3 \]

Упрощаем:

\[ x^2 - 2x = 3 \]

Теперь у нас получилось квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести к стандартному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней должна быть равна \( -b/a = -(-2)/1 = 2 \), а произведение корней равно \( c/a = -3/1 = -3 \).

Подберем два числа, которые в сумме дают 2, а в произведении -3. Это числа 3 и -1.

Итак, корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).

Теперь нам нужно проверить, удовлетворяют ли найденные корни первоначальной ОДЗ, то есть \( x \le 2 \).

• Для \( x_1 = 3 \): \( 3 \le 2 \) — это неверно. Значит, \( x = 3 \) не является решением исходного уравнения.
• Для \( x_2 = -1 \): \( -1 \le 2 \) — это верно. Значит, \( x = -1 \) является решением исходного уравнения.

Ответ: Уравнение имеет один корень: -1.