8. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x² ≤ 9?

Задание 8. Множество решений неравенства

Дано: неравенство \( x^2 \le 9 \).

Решение:

Чтобы найти множество решений неравенства \( x^2 \le 9 \), решим его:

1. Перенесем 9 в левую часть, чтобы получить неравенство вида \( x^2 - 9 \le 0 \).
2. Разложим левую часть как разность квадратов: \( (x - 3)(x + 3) \le 0 \).
3. Теперь определим интервалы, на которых это выражение будет меньше или равно нулю. Корнями уравнения \( (x - 3)(x + 3) = 0 \) являются \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
4. Нанесем эти корни на числовую прямую. Они разбивают прямую на три интервала: \( (-\infty, -3] \), \( [-3, 3] \) и \( [3, \infty) \).
5. Проверим знаки выражения \( (x - 3)(x + 3) \) в каждом интервале:
   • При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0 \).
   • При \( -3 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0 \).
   • При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0 \).
6. Нам нужны значения, где выражение \( \le 0 \). Это интервал \( [-3, 3] \).

Вывод: Множество решений неравенства \( x^2 \le 9 \) — это отрезок от -3 до 3 включительно. На числовой прямой это изображается как закрашенный отрезок между точками -3 и 3.

Ответ: Рисунок, где закрашен отрезок от -3 до 3.