10. Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел: 1) от 100 до 200; 2) от 50 до 150? Почему?

Каждый множитель 10 даёт один ноль в конце произведения. В произведении чисел от заданного промежутка число нулей равно суммарному количеству пар множителей 2 и 5; двоек больше, поэтому считаем пятёрки.

1. От 100 до 200 включительно: в числах промежутка имеется \(\lfloor200/5\rfloor-\lfloor99/5\rfloor=40-19=21\) множитель 5. Дополнительные пятёрки от кратных 25: \(\lfloor200/25\rfloor-\lfloor99/25\rfloor=8-3=5\); от кратных 125: \(1-0=1\). Всего \(21+5+1=27\) нулей.
2. От 50 до 150 включительно: множителей 5 — \(\lfloor150/5\rfloor-\lfloor49/5\rfloor=30-9=21\). Дополнительные пятёрки от кратных 25: \(\lfloor150/25\rfloor-\lfloor49/25\rfloor=6-1=5\); от кратных 125: \(1-0=1\). Всего \(21+5+1=27\) нулей.

Ответ: 1) 27 нулей; 2) 27 нулей.