10. Угол между высотой конуса и его образующей равен 60° и равна 18 см Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Пусть \( H \) — высота конуса, \( L \) — образующая, \( R \) — радиус основания. Угол между высотой и образующей равен 60°, то есть \( \angle L = 60^{\circ} \).

Образующая \( L = 18 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания. В этом треугольнике:

• Гипотенуза — образующая \( L = 18 \) см.
• Угол между высотой и образующей — 60°.

Найдем высоту \( H \) и радиус \( R \) с помощью тригонометрических функций:

1. Высота \( H \) — прилежащий катет к углу 60°:

\[ H = L \cdot \cos(60^{\circ}) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.

2. Радиус \( R \) — противолежащий катет к углу 60°:

\[ R = L \cdot \sin(60^{\circ}) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.

Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} \) вычисляется по формуле:

\[ S_{полн} = \pi R (R + H) \]

Подставим найденные значения \( R \) и \( H \):

\[ S_{полн} = \pi (9\sqrt{3}) (9\sqrt{3} + 9) \]

Вынесем 9 за скобки:

\[ S_{полн} = \pi (9\sqrt{3}) \cdot 9 (\sqrt{3} + 1) \]

\[ S_{полн} = 81\pi \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) \]

Раскроем скобки:

\[ S_{полн} = 81\pi (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1) \]

\[ S_{полн} = 81\pi (3 + \sqrt{3}) \]

Ответ: \( 81\pi (3 + \sqrt{3}) \) см²