10. Упростите выражение \(\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}\).

Сначала упростим внутренний корень: \(9+4\sqrt2=(1+2\sqrt2)^2\), поэтому \(\sqrt{9+4\sqrt2}=1+2\sqrt2\).

Тогда \(\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2\), поскольку \((1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2\).

Подставим: \(\sqrt{13+30(1+\sqrt2)}=\sqrt{43+30\sqrt2}\).

Так как \((5+3\sqrt2)^2=43+30\sqrt2\), выражение равно \(5+3\sqrt2\).

Ответ: \(5+3\sqrt2\).