10. В Д АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АН

Решение:

1. Рассматриваем треугольник BCM: Так как BM — медиана, то CM = AM = AC / 2 = 84 / 2 = 42.
2. Рассматриваем треугольник BHC: В прямоугольном треугольнике BHC, BC² = BH² + HC².
3. Из условия BC = BM: По теореме Пифагора для треугольника BHM (если M лежит между H и C): BM² = BH² + HM².
4. Сравниваем уравнения: Так как BC = BM, то BH² + HC² = BH² + HM², следовательно, HC² = HM². Это означает, что HC = HM.
5. Находим AH:
• Случай 1: M лежит между H и C. Тогда HC = HM = 42. AH = AC - HC = 84 - 42 = 42.
• Случай 2: H лежит между M и C. Тогда MC = MH + HC. 42 = MH + 54. Это невозможно, так как HC = 54, а MC = 42.
• Случай 3: C лежит между M и H. Тогда MH = MC + CH = 42 + 54 = 96. AH = AC + CH = 84 + 54 = 138.

Ответ: AH = 42 или AH = 138.