10. В фирме работает 30 сотрудников, из них 25 — владеют английским, а 10 — испанским. Укажите номера истинных утверждений:

Решение:

Обозначим:

• A — множество сотрудников, владеющих английским языком.
• I — множество сотрудников, владеющих испанским языком.
• |A| = 25
• |I| = 10
• Общее количество сотрудников = 30

По условию, все сотрудники владеют хотя бы одним языком, поэтому |A ∪ I| = 30.

Используем формулу включения-исключения: |A ∪ I| = |A| + |I| - |A ∩ I|

30 = 25 + 10 - |A ∩ I|

30 = 35 - |A ∩ I|

|A ∩ I| = 35 - 30 = 5

Значит, 5 сотрудников владеют обоими языками.

Проверим утверждения:

1. Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским, владеет и испанским языком.
• Неверно. Только 5 сотрудников владеют обоими языками, а 20 владеют только английским (25 - 5 = 20).
2. В этой фирме нет ни одного, кто владеет только одним языком.
• Неверно. 20 сотрудников владеют только английским (25 - 5 = 20), а 5 сотрудников владеют только испанским (10 - 5 = 5).
3. В этой фирме хотя бы четыре сотрудника владеют английским, но не испанским языком.
• Верно. 20 сотрудников владеют только английским, что больше четырех.
4. И английским, и испанским языками в этой фирме владеют 10 сотрудников или меньше.
• Верно. 5 сотрудников владеют обоими языками, что меньше или равно 10.

Ответ: 3, 4.