10. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, точка G — середина стороны BC. Выразите векторы EC и AG через векторы DC = a и BC = b.

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec a\).

Так как E — середина AD, то \(\overrightarrow{DE}=\frac12\overrightarrow{DA}=-\frac12\vec b\), поскольку \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\).

Тогда \(\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}=\frac12\vec b+\vec a\).

Поскольку G — середина BC, \(\overrightarrow{BG}=\frac12\vec b\). Также \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), поэтому \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{EC}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{AG}=\vec a+\frac12\vec b\).