10. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AC=50\), а высота \(CH\), опущенная на гипотенузу, равна \(8\sqrt{39}\). Найдите \(\sin\angle ABC\).

Обозначим второй катет через \(a=BC\), а гипотенузу через \(c=AB\). Для высоты к гипотенузе выполняется \(\frac{1}{CH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BC^2}\).

Подставим данные: \(\frac{1}{2496}=\frac{1}{2500}+\frac{1}{a^2}\), поскольку \((8\sqrt{39})^2=2496\).

Тогда \(\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2496}-\frac{1}{2500}=\frac{1}{1560000}\), откуда \(a^2=1560000\).

По теореме Пифагора \(c^2=a^2+50^2=1562500\), поэтому \(c=1250\).

Следовательно, \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{50}{1250}=\frac{1}{25}\).

Ответ: \(\frac{1}{25}\).