10. В прямоугольном треугольнике угол, образованный биссектрисой прямого угла и гипотенузой, равен 105°. Найдите меньший из острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Задание 10. Прямоугольный треугольник

Биссектриса прямого угла делит его на два угла по \(45^\).

Пусть острые углы треугольника равны \( \cdot \cdot \cdot \alpha \) и \( \cdot \cdot \cdot \beta \). Тогда \( \cdot \cdot \cdot \alpha + \cdot \cdot \cdot \beta = 90^ \).

Угол между биссектрисой и гипотенузой — это внешний угол одного из треугольников, образованных биссектрисой.

Пусть биссектриса — \(CL\). Угол \( \cdot ACL = 45^ \). В треугольнике \(ACL\) угол \( \cdot CAL = \cdot \cdot \cdot \alpha \). Тогда угол \( \cdot CL A \) равен \(180^ - (\cdot \cdot \cdot \alpha + 45^) \).

Угол, образованный биссектрисой и гипотенузой, — это угол \( \cdot CLB \). Он равен \(105^\). Значит, угол \( \cdot CL A = 180^ - 105^ = 75^ \).

\( 180^ - (\cdot \cdot \cdot \alpha + 45^) = 75^ \)

\( \cdot \cdot \cdot \alpha + 45^ = 180^ - 75^ = 105^ \)

\( \cdot \cdot \cdot \alpha = 105^ - 45^ = 60^ \).

\( \cdot \cdot \cdot \beta = 90^ - 60^ = 30^ \).

Меньший острый угол равен \(30^\).

Ответ: 30