10. В пустой мерный стакан массой 130 г налили воду, и поставили его на электронные весы, а потом начали бросать в стакан одинаковых игрушечных солдатиков. Зависимость показаний весов от количества брошенных в стакан солдатиков показана на графике. Начиная с какого-то момента, после добавления каждого очередного солдатика вытесняемая им вода переливается через край стакана. Вся перелившаяся через край вода стекает с весов на стол. Используя приведённый график, определите: 1) какая масса воды была налита в стакан вначале? 2) плотность материала, из которого сделаны солдатики. 3) возможный диапазон значений общего объёма стакана (учтите, что положение точки пересечения двух прямых на графике можно определить с точностью до одного солдатика). Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

1. Начальная масса воды в стакане:

График показывает зависимость массы стакана с водой и солдатиками от количества солдатиков. До момента, когда вода начинает переливаться, масса стакана с водой увеличивается линейно с добавлением солдатиков. Начальная масса воды соответствует массе пустого стакана плюс масса налитой воды. По графику видно, что когда количество солдатиков равно 0, масса стакана с водой равна 500 г. Указано, что пустой стакан имеет массу 130 г. Следовательно, масса налитой воды составляет:

\( m_{воды} = m_{стакана с водой} - m_{пустого стакана} \)

\( m_{воды} = 500 \text{ г} - 130 \text{ г} = 370 \text{ г} \)

Ответ: Масса воды, налитой в стакан вначале, составляет 370 г.

2. Плотность материала солдатиков:

Линейный участок графика, где масса стакана с водой и солдатиками растёт, показывает, что добавление солдатиков увеличивает общую массу. Переливание воды начинается, когда объём солдатиков плюс вода превышает объём стакана. Точка перегиба на графике (примерно при 8 солдатиках) указывает на начало переливания воды.

До начала переливания (например, при 8 солдатиках):

Масса стакана с водой и 8 солдатиками = 580 г.

Масса 8 солдатиков = Масса стакана с водой и 8 солдатиками - Масса стакана с водой

Масса 8 солдатиков = 580 г - 500 г = 80 г.

Масса одного солдатика = \( \frac{80 \text{ г}}{8} = 10 \text{ г} \).

После начала переливания (например, при 10 солдатиках):

Масса стакана с водой и 10 солдатиками = 600 г.

В этот момент 2 солдатика добавились, но вода начала вытекать. Масса стакана с водой и солдатиками увеличилась на 20 г (с 580 г до 600 г), при этом добавилось 2 солдатика (20 г), что означает, что вода перестала вытекать, или её вытеснение компенсировалось добавлением солдатиков.

Давайте рассмотрим участок после начала переливания. Например, при 12 солдатиках масса 620 г. При 14 солдатиках масса 640 г. При 16 солдатиках масса 660 г. При 18 солдатиках масса 680 г.

Разница между значениями массы при добавлении 2 солдатиков составляет 20 г (620-600, 640-620, 660-640, 680-660). Это означает, что масса каждого добавленного солдатика составляет 10 г (20 г / 2 солдатика). Это совпадает с нашим предыдущим расчётом.

Чтобы найти плотность, нам нужен объём солдатика. Мы можем использовать закон Архимеда или, более вероятно, использовать информацию о вытесненной воде. Текст задачи говорит: «Начиная с какого-то момента, после добавления каждого очередного солдатика вытесняемая им вода переливается через край стакана. Вся перелившаяся через край вода стекает с весов на стол.»

Это означает, что после начала переливания, каждый раз, когда мы добавляем солдатика, масса на весах увеличивается на массу этого солдатика МИНУС масса вытекшей воды. Если масса на весах увеличивается на 10 г при добавлении каждого солдатика, это означает, что вытекшая вода имеет массу, равную массе добавленного солдатика, то есть 10 г.

Объём вытекшей воды равен объёму солдатика.

\( V_{солдатика} = V_{вытекшей воды} \)

Плотность воды \( \rho_{воды} \approx 1 \text{ г/см}^3 \) или \( 1000 \text{ кг/м}^3 \).

Масса вытекшей воды = 10 г.

Объём вытекшей воды = \( \frac{m_{вытекшей воды}}{\rho_{воды}} \) = \( \frac{10 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 10 \text{ см}^3 \).

Следовательно, объём одного солдатика = 10 см³.

Плотность материала солдатика = \( \frac{m_{солдатика}}{V_{солдатика}} \) = \( \frac{10 \text{ г}}{10 \text{ см}^3} = 1 \text{ г/см}^3 \).

Ответ: Плотность материала, из которого сделаны солдатики, составляет 1 г/см³.

3. Возможный диапазон значений общего объёма стакана:

Точка пересечения двух прямых на графике — это момент начала переливания воды. По графику, это происходит примерно при 8 солдатиках. В этот момент масса составляет 580 г.

Общий объём стакана (вместимость) равен объёму воды + объёму солдатиков, которые были добавлены до начала переливания. В нашем случае, это 8 солдатиков.

Объём 8 солдатиков = \( 8 \times V_{солдатика} = 8 \times 10 \text{ см}^3 = 80 \text{ см}^3 \).

Начальный объём воды = \( \frac{m_{воды}}{\rho_{воды}} = \frac{370 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 370 \text{ см}^3 \).

Общий объём стакана (вместимость) = Объём воды + Объём солдатиков

Общий объём стакана = \( 370 \text{ см}^3 + 80 \text{ см}^3 = 450 \text{ см}^3 \).

Условие задачи говорит: «положение точки пересечения двух прямых можно определить с точностью до одного солдатика».

Если точка перегиба приходится на 7 солдатиков:

Объём 7 солдатиков = \( 7 \times 10 \text{ см}^3 = 70 \text{ см}^3 \).

Общий объём стакана = \( 370 \text{ см}^3 + 70 \text{ см}^3 = 440 \text{ см}^3 \).

Если точка перегиба приходится на 9 солдатиков:

Объём 9 солдатиков = \( 9 \times 10 \text{ см}^3 = 90 \text{ см}^3 \).

Общий объём стакана = \( 370 \text{ см}^3 + 90 \text{ см}^3 = 460 \text{ см}^3 \).

Таким образом, диапазон значений общего объёма стакана составляет от 440 см³ до 460 см³.

Ответ: Возможный диапазон значений общего объёма стакана составляет от 440 см³ до 460 см³.