10. В ромбе PQRS из вершины P проведена высота PM к стороне QR. Угол между стороной PQ и высотой PM равен 30°, диагональ PR = 6 см. Найдите длину отрезка QM, если M лежит на стороне QR.

Так как PM ⟂ QR, треугольник PQM прямоугольный. Его угол при P равен 30°, поэтому QM = PQ · sin 30° = PQ/2.

В ромбе диагональ PR биссектрисса угла P. Угол между PQ и PM равен 30°, а PM перпендикулярна QR; следовательно, угол ромба P равен 60°. Тогда диагональ PR = PQ√3.

Из PR = 6 получаем PQ = 6/√3 = 2√3 см. Следовательно, QM = PQ/2 = √3 см.

Ответ: √3 см.