10. В трапеции ABCD (AD ∥ BC) углы при основании AD равны: ∠A = ∠D. Докажите, что трапеция равнобедренная, то есть AB = CD.

Опустим перпендикуляры BE и CF из вершин B и C на основание AD.

Поскольку AD ∥ BC, расстояния между параллельными прямыми равны, поэтому BE = CF. Треугольники ABE и DCF прямоугольные; их острые углы при A и D равны по условию. Следовательно, треугольники ABE и DCF равны по стороне и двум прилежащим углам (или по катету и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих гипотенуз: AB = CD. Значит, трапеция равнобедренная.

Что и требовалось доказать.