10. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 59 и BC = BM. Найдите AH.

1. Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 59 / 2 = 29,5.
2. Так как BH перпендикулярна AC, треугольники BHC и BHM прямоугольные. Из BC = BM и общей стороны BH следует по теореме Пифагора, что HC² = HM², значит HC = HM.
3. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C. Обозначим AH = x. Тогда HC = 59 − x, а HM = x − 29,5. Приравниваем: 59 − x = x − 29,5, откуда 2x = 88,5 и x = 44,25.

Ответ: 44,25.