10. В треугольнике АВС AC = BC, AH — высота, АВ = 8. cos ∠BAC = 0.5. Найдите ВН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( < AHB = 90^\circ \). Известно \( AB = 8 \) и \( \cos(\angle BAC) = 0.5 \).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\( \cos(\angle BAC) = \frac{AH}{AB} \)

\( AH = AB · \cos(\angle BAC) = 8 · 0.5 = 4 \).

Так как \( AC = BC \), треугольник АВС — равнобедренный. Высота \( AH \) является также медианой к стороне \( AB \) только если \( C \) — вершина, противолежащая \( AB \) и \( AC = BC \). В данном случае \( AH \) — высота, проведенная к основанию \( BC \) не обязательно. Условие \( AC=BC \) означает, что \( C \) — вершина, противолежащая основанию \( AB \). Тогда \( AH \) — высота, проведенная к \( AB \).

Если \( AH \) — высота, проведенная к \( BC \), то \( < AHC = 90^\circ \).

Если \( AC = BC \), то \( < BAC = < ABC \). Если \( AH \) — высота, то \( < AHB = 90^\circ \).

В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( BH = AB · \cos(\angle ABH) \)

Так как \( AC = BC \), то \( < BAC = < ABC \). Следовательно \( < ABH = < BAC = 60^\circ \) (так как \( < BAC = 60^\circ \) при \( < cos = 0.5 \)).

\( BH = 8 · \cos(60^\circ) = 8 · 0.5 = 4 \).

Ответ: 4