9. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 5, cos ∠BAC = 7/25. Найдите высоту АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике АНС:

\( AC = AB ·  cos(\angle BAC) \)

\( AC = 5 · \frac{7}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} \)

Так как \( AC = BC \), то \( BC = \frac{7}{5} \).

В прямоугольном треугольнике АНВ:

\( AH^2 = AB^2 - BH^2 \)

В прямоугольном треугольнике АНС:

\( AH^2 = AC^2 - CH^2 \)

По теореме Пифагора для треугольника АНВ:

\( BH = AB · \sin(\angle BAC) \)

Сначала найдём \( \sin(\angle BAC) \):

\( \sin^2(\angle BAC) + \cos^2(\angle BAC) = 1 \)

\( \sin^2(\angle BAC) = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \)

\( \sin(\angle BAC) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \)

\( BH = 5 · \frac{24}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4.8 \)

Так как \( AH \) — высота, то \( H \) лежит на \( AB \). Если \( < BAC \) — острый, то \( H \) лежит на отрезке \( AB \).

\( AH = AB · \sin(\angle BAC) \)

\( AH = 5 · \frac{24}{25} = \frac{120}{25} = 4.8 \)

Ответ: 4.8