10. В треугольнике KLM (рис. 20) ∠KLM = 56°, биссектрисы внешних углов при вершинах К и М пересекаются в точке О. Найдите угол КОМ.

Обоснование:

В треугольнике KLM: ∠KLM = 56°.

Пусть α — внешний угол при вершине K, и β — внешний угол при вершине M.

α = 180° - ∠KLK' (где K' — точка на продолжении LK).

β = 180° - ∠LMM' (где M' — точка на продолжении LM).

В треугольнике KMO, углы при вершинах K и M — это половины внешних углов треугольника KLM.

Угол при вершине K в треугольнике KMO равен α/2, а угол при вершине M равен β/2.

Сумма углов в треугольнике KMO: ∠KOM + α/2 + β/2 = 180°.

α/2 + β/2 = (α + β) / 2.

В треугольнике KLM, сумма внутренних углов равна 180°: ∠KLM + ∠LMK + ∠MKL = 180°.

Внешние углы треугольника равны сумме двух других внутренних углов. Следовательно:

α = ∠LMK + ∠KLM

β = ∠MKL + ∠KLM

α + β = ∠LMK + ∠KLM + ∠MKL + ∠KLM = (∠LMK + ∠MKL + ∠KLM) + ∠KLM = 180° + ∠KLM.

Тогда (α + β) / 2 = (180° + ∠KLM) / 2 = 90° + ∠KLM / 2.

Подставляем в сумму углов треугольника KMO:

∠KOM + 90° + ∠KLM / 2 = 180°

∠KOM = 180° - 90° - ∠KLM / 2

∠KOM = 90° - ∠KLM / 2

Подставляем значение ∠KLM = 56°:

∠KOM = 90° - 56° / 2 = 90° - 28° = 62°.

Ответ: 62°