10. В треугольнике KLM (рис. 20) ZKLM = 56°, биссектрисы внешних углов при вершинах К и М пересекаются в точке О. Найдите угол КОМ.

Обоснование:

В треугольнике KLM, угол KLM = 56°.

Пусть внешние углы при вершинах K и M будут ∠K_внеш и ∠M_внеш соответственно.

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠KLM + ∠LMK + ∠LKM = 180°

56° + ∠LMK + ∠LKM = 180°

∠LMK + ∠LKM = 180° - 56° = 124°

Внешний угол при вершине K:

∠K_внеш = 180° - ∠LKM

Внешний угол при вершине M:

∠M_внеш = 180° - ∠LMK

Сумма внешних углов:

∠K_внеш + ∠M_внеш = (180° - ∠LKM) + (180° - ∠LMK) = 360° - (∠LKM + ∠LMK) = 360° - 124° = 236°.

PO — биссектриса внешнего угла при K, а QO — биссектриса внешнего угла при M. Точка их пересечения — O.

Угол OKM = ∠K_внеш / 2

Угол OMK = ∠M_внеш / 2

В треугольнике KOM:

∠KOM + ∠OKM + ∠OMK = 180°

∠KOM + (∠K_внеш / 2) + (∠M_внеш / 2) = 180°

∠KOM + (∠K_внеш + ∠M_внеш) / 2 = 180°

∠KOM + (236°) / 2 = 180°

∠KOM + 118° = 180°

∠KOM = 180° - 118° = 62°.

Ответ: 62°