10. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, диагональ AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к стороне AD или её продолжению, BM ⟂ AD. В прямоугольном треугольнике ABM угол между AB и BM равен 30°, значит, ∠BAM = 60°. Поскольку M лежит на продолжении AD, луч AM направлен противоположно лучу AD, поэтому угол BAD равен 120°.

В ромбе диагональ AC делит угол A пополам, следовательно, ∠BAC = 60°. Треугольник ABC равнобедренный: AB = BC, а угол между ними равен 60°. Поэтому он равносторонний, и AB = AC = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол при B равен 30°, а гипотенуза AB равна 6 см. Катет AM, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: AM = 6 : 2 = 3 см.

Ответ: 3 см.