10. За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Для решения этой задачи будем использовать классическое определение вероятности: \( P(A) = \frac{m}{n} \), где \( n \) — общее число исходов, а \( m \) — число благоприятных исходов.

1. Общее число исходов (n):

Это общее количество способов рассадить 11 человек на 11 стульев. Это число перестановок из 11 элементов, которое вычисляется как 11! (11 факториал).

2. Число благоприятных исходов (m):

Благоприятным исходом будет такое расположение, когда обе девочки сидят на соседних стульях. Рассмотрим пару девочек как единое целое. Тогда у нас есть 10 «объектов» для рассадки: 9 мальчиков и 1 пара девочек. Количество способов рассадить эти 10 объектов — 10!.

Кроме того, девочки могут сидеть друг с другом двумя способами: первая слева от второй, или вторая слева от первой. Поэтому для каждой рассадки 10 объектов, пару девочек можно переставить 2 способами.

Таким образом, число благоприятных исходов будет \( m = 10! \cdot 2 \).

3. Вычисление вероятности:

\( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{10! \cdot 2}{11!} \)

Разложим 11! как \( 11! = 11 \cdot 10! \)

\( P(A) = \frac{10! \cdot 2}{11 \cdot 10!} \)

Сократим \( 10! \):

\( P(A) = \frac{2}{11} \)

Ответ: \( \frac{2}{11} \)