1001) Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой:

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью \( Ox \) и параболой, нужно найти корни параболы (точки пересечения с осью \( Ox \)) и взять интеграл от функции между этими корнями.

Варианты:

1. \( y = 4 - x^2 \)

Корни: \( 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \). Площадь:

\( S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}) = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{-8}{3}) = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \)

2. \( y = 1 - x^2 \)

Корни: \( 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). Площадь:

\( S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = (1 - \frac{1^3}{3}) - (-1 - \frac{(-1)^3}{3}) = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3}) = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \)

3. \( y = -x^2 + 4x - 3 \)

Корни: \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4, x_1 x_2 = 3 \), значит \( x_1 = 1, x_2 = 3 \). Площадь:

\( S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} = (-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3) - (-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1) = (-\frac{27}{3} + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} + 2 - 3) = (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \)