1002) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = a, х = b, осью Ох и графиком функции у = f (x):

Решение:

Площадь фигуры вычисляется как определённый интеграл от функции \( f(x) \) в пределах от \( a \) до \( b \).

Варианты:

1. \( a = 1, b = 8, f(x) = \sqrt[3]{x} \)

\( S = \int_{1}^{8} x^{1/3} dx = \left[ \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{x^{4/3}}{4/3} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} \right]_{1}^{8} \)

\( = \frac{3}{4} (8^{4/3} - 1^{4/3}) = \frac{3}{4} ((\sqrt[3]{8})^4 - 1) = \frac{3}{4} (2^4 - 1) = \frac{3}{4} (16 - 1) = \frac{3}{4} \cdot 15 = \frac{45}{4} = 11.25 \)

2. \( a = 4, b = 9, f(x) = \sqrt{x} \)

\( S = \int_{4}^{9} x^{1/2} dx = \left[ \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} \right]_{4}^{9} = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{4}^{9} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{4}^{9} \)

\( = \frac{2}{3} (9^{3/2} - 4^{3/2}) = \frac{2}{3} ((\sqrt{9})^3 - (\sqrt{4})^3) = \frac{2}{3} (3^3 - 2^3) = \frac{2}{3} (27 - 8) = \frac{2}{3} \cdot 19 = \frac{38}{3} \approx 12.67 \)