1026. В треугольнике ABC AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и SABC.

Найдём третий угол:

\(\angle B=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin60^\circ}=\dfrac{AC}{\sin45^\circ}\).

\(AB=12\cdot\dfrac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=12\cdot\dfrac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=6\sqrt6\text{ см}\approx14,70\text{ см}\).

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin75^\circ\).

\(S=\dfrac12\cdot6\sqrt6\cdot12\cdot\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=54+18\sqrt3\text{ см}^2\approx85,18\text{ см}^2\).

Ответ: \(AB=6\sqrt6\) см \(\approx14,70\) см; \(S_{ABC}=54+18\sqrt3\) см² \(\approx85,18\) см².