105. Найдите значение выражения: а) \((6\frac{1}{8} - 2\frac{2}{7}) \cdot \frac{8}{13} - 1\frac{3}{5}\) б) \((9\frac{7}{18} + 1\frac{7}{12}) \cdot 1 \frac{1}{9} - 1\frac{7}{8}\) г) \((4\frac{1}{3} - 3\frac{4}{9})^2 \cdot (2\frac{1}{4})^2\) д) \((5\frac{8}{15} - 4\frac{7}{10}) \cdot 2\frac{2}{3} - \frac{5}{9}\) e) \((4\frac{1}{10} - 3\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12})^2 \cdot \frac{5}{6}\)

Решение:

а) \((6\frac{1}{8} - 2\frac{2}{7}) \cdot \frac{8}{13} - 1\frac{3}{5}\)

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 6\frac{1}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{49}{8} \)
• \( 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7} \)
• \( 1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5} \)
2. Вычислим разность в скобках:
• \( \frac{49}{8} - \frac{16}{7} \)
• Приведем к общему знаменателю 56: \( \frac{49 \cdot 7 - 16 \cdot 8}{56} = \frac{343 - 128}{56} = \frac{215}{56} \)
3. Умножим результат на \(\frac{8}{13}\):
• \( \frac{215}{56} \cdot \frac{8}{13} \)
• Сократим 8 и 56: \( \frac{215}{7} \cdot \frac{1}{13} = \frac{215}{91} \)
4. Вычтем \(1\frac{3}{5}\):
• \( \frac{215}{91} - \frac{8}{5} \)
• Приведем к общему знаменателю 455: \( \frac{215 \cdot 5 - 8 \cdot 91}{455} = \frac{1075 - 728}{455} = \frac{347}{455} \)

б) \((9\frac{7}{18} + 1\frac{7}{12}) \cdot 1 \frac{1}{9} - 1\frac{7}{8}\)

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 9\frac{7}{18} = \frac{9 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{169}{18} \)
• \( 1\frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{19}{12} \)
• \( 1 \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9} \)
• \( 1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8} \)
2. Вычислим сумму в скобках:
• \( \frac{169}{18} + \frac{19}{12} \)
• Приведем к общему знаменателю 36: \( \frac{169 \cdot 2 + 19 \cdot 3}{36} = \frac{338 + 57}{36} = \frac{395}{36} \)
3. Умножим результат на \(1 \frac{1}{9}\) (т.е. \(\frac{10}{9}\)):
• \( \frac{395}{36} \cdot \frac{10}{9} \)
• Сократим 10 и 36 на 2: \( \frac{395}{18} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1975}{162} \)
4. Вычтем \(1\frac{7}{8}\):
• \( \frac{1975}{162} - \frac{15}{8} \)
• Приведем к общему знаменателю 648: \( \frac{1975 \cdot 4 - 15 \cdot 81}{648} = \frac{7900 - 1215}{648} = \frac{6685}{648} \)

г) \((4\frac{1}{3} - 3\frac{4}{9})^2 \cdot (2\frac{1}{4})^2\)

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3} \)
• \( 3\frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{31}{9} \)
• \( 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} \)
2. Вычислим разность в первой скобке:
• \( \frac{13}{3} - \frac{31}{9} \)
• Приведем к общему знаменателю 9: \( \frac{13 \cdot 3 - 31}{9} = \frac{39 - 31}{9} = \frac{8}{9} \)
3. Возведем в квадрат значения в обеих скобках:
• \( (\frac{8}{9})^2 = \frac{64}{81} \)
• \( (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16} \)
4. Перемножим полученные результаты:
• \( \frac{64}{81} \cdot \frac{81}{16} \)
• Сократим 81 и 16 и 64: \( \frac{64}{16} = 4 \)

д) \((5\frac{8}{15} - 4\frac{7}{10}) \cdot 2\frac{2}{3} - \frac{5}{9}\)

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 5\frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{83}{15} \)
• \( 4\frac{7}{10} = \frac{4 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{47}{10} \)
• \( 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \)
2. Вычислим разность в скобках:
• \( \frac{83}{15} - \frac{47}{10} \)
• Приведем к общему знаменателю 30: \( \frac{83 \cdot 2 - 47 \cdot 3}{30} = \frac{166 - 141}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \)
3. Умножим результат на \(2\frac{2}{3}\) (т.е. \(\frac{8}{3}\)):
• \( \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{3} \)
• Сократим 6 и 8 на 2: \( \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{9} \)
4. Вычтем \(\frac{5}{9}\):
• \( \frac{20}{9} - \frac{5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \)

е) \((4\frac{1}{10} - 3\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12})^2 \cdot \frac{5}{6}\)

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 4\frac{1}{10} = \frac{4 \cdot 10 + 1}{10} = \frac{41}{10} \)
• \( 3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5} \)
2. Выполним умножение в скобках:
• \( 3\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{12} \)
• Сократим 5 и 5, 18 и 12 на 6: \( \frac{18}{1} \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
3. Выполним вычитание в скобках:
• \( \frac{41}{10} - \frac{3}{2} \)
• Приведем к общему знаменателю 10: \( \frac{41 - 3 \cdot 5}{10} = \frac{41 - 15}{10} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5} \)
4. Возведем результат в квадрат:
• \( (\frac{13}{5})^2 = \frac{169}{25} \)
5. Умножим на \(\frac{5}{6}\):
• \( \frac{169}{25} \cdot \frac{5}{6} \)
• Сократим 25 и 5 на 5: \( \frac{169}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{169}{30} \)

Ответ: а) \( \frac{347}{455} \); б) \( \frac{6685}{648} \); г) \( 4 \); д) \( \frac{5}{3} \); е) \( \frac{169}{30} \).