105. Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a. Из точек A и C к прямой a проведены перпендикуляры AB и CD, причём AB = CD. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

а) Так как AB ⟂ a и CD ⟂ a, то AB ∥ CD. Прямая BD пересекает эти параллельные прямые, поэтому углы ∠ABD и ∠CDB — накрест лежащие, следовательно, равны.

б) Точки B и D лежат на прямой a, значит лучи DB и DC перпендикулярны, а ∠CDB = 90°. По пункту а) ∠ABD = 90°. В треугольнике ABD сумма углов равна 180°:

∠BAD = 180° − 90° − 44° = 46°.

Треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними: AB = CD, BD — общая сторона, ∠ABD = ∠CDB. Поэтому соответствующие углы ∠CDB и ∠CBD равны. Отсюда ∠CBD = 90°. Поскольку лучи BA и BC находятся по одну сторону от прямой a, искомый угол ∠ABC составляет 90° + 90°.

Ответ: ∠ABC = 180°.