108 A: B va C nuqtalar mos ravishda o'rtacha, kichik va katta radiusli aylana markazlari. C nuqta AB kesma o'rtasi. Agar BD=8 bolsa, bo'yalgan sohalarning chegaralari uzunliklari yig'indisini toping

Решение:

По условию, C — центр меньшей окружности, A — центр большей окружности. Точка D лежит на большей окружности. BD = 8 — это диаметр большей окружности, следовательно, радиус большей окружности R = BD/2 = 8/2 = 4.

Точка C — середина отрезка AB. Так как A — центр большей окружности, то AB — это радиус большей окружности. Следовательно, AB = R = 4.

Радиус меньшей окружности (r) равен AC. Так как C — середина AB, то AC = AB/2 = 4/2 = 2. Значит, r = 2.

Боящиеся области состоят из двух частей: внешняя часть большего полукруга и внутренняя часть меньшего круга (полумесяц).

Длина внешней границы (большая дуга) = половина длины окружности с радиусом R = \( \frac{1}{2} \cdot 2 \pi R = \pi R = \pi \cdot 4 = 4\pi \).

Длина внутренней границы (меньшая дуга) = половина длины окружности с радиусом r = \( \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r = \pi r = \pi \cdot 2 = 2\pi \).

Длина внутренней границы (малая окружность) = \( 2 \pi r = 2 \pi \cdot 2 = 4\pi \).

Суммарная длина границ окрашенных областей = (внешняя граница большего полукруга) + (внутренняя граница меньшего круга) = \( \pi R + 2 \pi r \) = \( 4\pi + 4\pi = 8\pi \).

Ответ: Длина окрашенных областей равна \( 8\pi \).