10 В классе учится 25 человек, из них 18 человек посещают математический кружок, а 12 — кружок по астрономии. Укажите номера истинных утверждений. 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка. 2) Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Каждый, кто посещает математический кружок, обязательно посещает и кружок по астрономии. 4) Менее 13 человек посещают и математический кружок, и кружок по астрономии. Ответ:

Решение:

Обозначим:

• \( |\text{К}| \) — количество учеников, посещающих математический кружок; \( |\text{К}| = 18 \)
• \( |\text{А}| \) — количество учеников, посещающих астрономический кружок; \( |\text{А}| = 12 \)
• \( |\text{Всего}| \) — общее количество учеников в классе; \( |\text{Всего}| = 25 \)

Для решения задачи используем принцип включения-исключения. Количество учеников, посещающих хотя бы один кружок, равно:

\[ |\text{К} \cup \text{А}| = |\text{К}| + |\text{А}| - |\text{К} \cap \text{А}| \]

где \( |\text{К} \cap \text{А}| \) — количество учеников, посещающих оба кружка.

Максимальное количество учеников, посещающих хотя бы один кружок, не может превышать общее количество учеников в классе, то есть \( |\text{К} \cup \text{А}| \le 25 \).

Следовательно:

\[ 18 + 12 - |\text{К} \cap \text{А}| \le 25 \] \[ 30 - |\text{К} \cap \text{А}| \le 25 \] \[ |\text{К} \cap \text{А}| \ge 30 - 25 \] \[ |\text{К} \cap \text{А}| \ge 5 \]

Это означает, что как минимум 5 учеников посещают оба кружка.

Также, количество учеников, посещающих оба кружка, не может быть больше количества учеников, посещающих каждый из кружков:

\[ |\text{К} \cap \text{А}| \le |\text{К}| = 18 \] \[ |\text{К} \cap \text{А}| \le |\text{А}| = 12 \]

Следовательно, \( |\text{К} \cap \text{А}| \le 12 \).

Таким образом, количество учеников, посещающих оба кружка, находится в диапазоне от 5 до 12 включительно: \( 5 \le |\text{К} \cap \text{А}| \le 12 \).

Теперь проанализируем утверждения:

1. "Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка."

   Это утверждение неверно, так как \( |\text{К} \cap \text{А}| \le 12 \), а общее количество учеников 25. Следовательно, есть ученики, которые не посещают оба кружка.

2. "Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка."

   Это утверждение верно, так как мы выяснили, что \( |\text{К} \cap \text{А}| \ge 5 \), а 5 > 2.

3. "Каждый, кто посещает математический кружок, обязательно посещает и кружок по астрономии."

   Это утверждение неверно. Если бы оно было верно, то \( |\text{К} \cap \text{А}| = |\text{К}| = 18 \). Но мы знаем, что \( |\text{К} \cap \text{А}| \le 12 \).

4. "Менее 13 человек посещают и математический кружок, и кружок по астрономии."

   Это утверждение верно, так как мы установили, что \( |\text{К} \cap \text{А}| \le 12 \), а 12 < 13.

Финальный ответ:

Ответ: 2, 4