11. 2^x - 4 * (√2)^x - 32 = 0

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

\( 2^x - 4 \cdot (2^{1/2})^x - 32 = 0 \)

\( 2^x - 4 \cdot 2^{x/2} - 32 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^{x/2} \). Тогда \( y^2 = (2^{x/2})^2 = 2^x \).

Уравнение примет вид:

\( y^2 - 4y - 32 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \)

Найдем корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Теперь вернемся к замене \( y = 2^{x/2} \).

Случай 1: \( y_1 = 8 \)

\( 2^{x/2} = 8 \)

\( 2^{x/2} = 2^3 \)

\( \frac{x}{2} = 3 \)

\( x = 6 \)

Случай 2: \( y_2 = -4 \)

\( 2^{x/2} = -4 \)

Поскольку степень числа с положительным основанием всегда положительна, это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 6.